Particiones numéricas | El juego de la ciencia

Nos preguntábamos En la semana pasada ¿Cómo se puede distribuir un pastel (o cualquier otra cosa) entre tres personas de tal manera que los tres acepten la distribución como buena? En el caso de dos personas es muy sencillo, y también es una situación que suele darse en la vida real, cuando, por ejemplo, dos niños tienen que compartir una barra de chocolate o un bocadillo: uno hace la partición y el otro elige, con lo cual el primero cuidará mucho de que las dos partes sean iguales. Pero en el caso de tres personas, a las que llamaremos A, B y C, la cuestión se vuelve bastante complicada. Una de las posibles soluciones (no es única, e invito a mis astutos lectores a buscar otras) es la siguiente:

A divide el bizcocho en tres partes, B elige dos y la que queda es para A. Si B considera que las dos partes que ha elegido son equivalentes, le da a C a elegir entre ellas y se queda con el resto (aunque C también tiene la opción de elegir la parte de A). Si B considera que las dos piezas que ha elegido no son iguales, corta una parte de una de ellas para igualarlas antes de ofrecérselas a C; en este caso hay una pieza residual que las tres se pueden distribuir de la misma manera: una de ellas (no tiene que volver a ser A) la divide en tres partes, etc. Teóricamente, el proceso podría repetirse ad infinitum ( o hasta alcanzar el nivel molecular); pero en la práctica no suele ser necesario ir más allá del primer paso, a menos que la tripartición de A sea claramente inequitativa.

Respecto a la división de un triángulo obtuso en ángulos agudos, la condición innecesaria que las personas suelen imponerse a sí mismos al intentar resolverlo es que todos los ángulos agudos tengan todos sus vértices en los lados del ángulo obtuso, y de esta forma es imposible; pero, como puede verse en el dibujo enviado por Enol Ferre, la partición es posible haciendo coincidir varios vértices de los ángulos agudos en un punto interior del ángulo obtuso. ¿Es mínima esta división en siete ángulos agudos? (Nótese, de paso, el paralelismo «psicológico» con el famoso problema de los nueve puntos que se unen con cuatro líneas rectilíneas).

Partición de un número natural

Y como hemos hablado de dividir y distribuir, es necesario mencionar el concepto matemático de particionar un número natural, que consiste en descomponerlo en la suma de otros números naturales (es decir, enteros y positivos).

Las particiones es uno de esos fascinantes temas matemáticos que, desde un enfoque sumamente sencillo, cuya comprensión y primeros desarrollos están al alcance de cualquiera, abre un campo de posibilidades ilimitadas e innumerables aplicaciones.

Veamos las particiones de los primeros números naturales:

El 1 no se puede descomponer en sumandos, por lo que solo tiene una partición (el número en sí se considera una de sus particiones).

El 2 se puede descomponer en sumandos de una sola forma: 2 = 1 + 1 y, por tanto, tiene dos particiones.

El 3 tiene tres particiones 3 = 2 + 1 = 1 + 1 + 1.

El 4 tiene cinco particiones: 4 = 3 + 1 = 2 + 2 = 2 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1.

El 5 tiene siete particiones …

El matemático británico Alfred Young (1873-1940) ideó los diagramas que llevan su nombre para visualizar las particiones:

Invito a mis lectores astutos a interpretar los diagramas de Young, a relacionarlos con otro tema discutido hace unos meses en esta sección, a construir la secuencia del número de particiones de números naturales sucesivos y a sacar las conclusiones pertinentes.

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 trabajos de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre los que se encuentran ‘Maldita física’, ‘Malditas matemáticas’ o ‘El gran juego’. Fue guionista de ‘La bola de cristal’.

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